CZĘŚĆ IV: MODEL OLG - FORMALIZACJA I ANALIZA

4.1. Wprowadzenie teoretyczne

A) Czym jest model nakładających się pokoleń (OLG)

Model nakładających się pokoleń (Overlapping Generations Model, OLG) to dynamiczny model równowagi ogólnej, w którym w każdym okresie współistnieją agenci o różnym wieku. W odróżnieniu od modeli z nieskończenie żyjącym reprezentatywnym agentem (np. model Ramseya), OLG explicite uwzględnia:

• Cykl życia: agenci rodzą się, pracują, oszczędzają, przechodzą na emeryturę i umierają
• Transfery międzypokoleniowe: pracujący finansują emerytów (system PAYG)
• Zmieniającą się strukturę demograficzną: proporcje między pokoleniami zmieniają się w czasie

Geneza modelu:

Model Auerbacha-Kotlikoffa (1987) jest szczególnie istotny dla naszej analizy - wprowadził J-okresowy cykl życia z realistyczną strukturą demograficzną, co pozwala na analizę skutków starzenia się społeczeństwa.

B) Dlaczego model OLG dla demografii Chin

Model OLG jest naturalnym narzędziem do analizy wpływu zmian demograficznych na gospodarkę Chin z trzech powodów:

1. Struktura wiekowa jest kluczowa

Zjawiska opisane w rozdziale 1 (sekcje 1.1.A-E) dotyczą bezpośrednio proporcji między grupami wiekowymi: - Kurczenie się populacji w wieku produkcyjnym (1.1.D): 940 mln (2011) → 858 mln (2024) - Wzrost populacji 60+: 127 mln (2000) → 310 mln (2024) - Zmiana współczynnika obciążenia demograficznego: 0.21 (2024) → 0.52 (2050 proj.)

Model OLG reprezentuje te zmiany przez wektor N(j,t) - liczbę osób w wieku j w okresie t.

2. System emerytalny PAYG wymaga bilansu międzypokoleniowego

Chiński system emerytalny typu PAYG (Pay-As-You-Go), opisany w sekcji 1.2.D, opiera się na transferach od pracujących do emerytów:

Wpływy ze składek = Wydatki na świadczenia
τ · w · L = Σ b(j) · N(j)  dla j ≥ jr

Gdy zmienia się proporcja pracujących do emerytów, system wymaga dostosowania: wyższych składek (τ↑), niższych świadczeń (b↓) lub późniejszego wieku emerytalnego (jr↑). Model OLG pozwala kwantyfikować te trade-offy.

3. Decyzje oszczędnościowe zależą od cyklu życia

Hipoteza cyklu życia (Modigliani) wyjaśnia wysoką stopę oszczędności w Chinach (sekcja 1.2.C): gospodarstwa domowe oszczędzają w okresie pracy, by finansować konsumpcję na emeryturze. Gdy społeczeństwo się starzeje: - Mniej osób w fazie akumulacji (pracujący) - Więcej osób w fazie dekumulacji (emeryci) - Agregowana stopa oszczędności spada

C) Ograniczenia modelu - co jest poza modelem

Model OLG, który konstruujemy, jest świadomym uproszczeniem rzeczywistości. Poniższa tabela explicite określa, które zjawiska z rozdziału 1 są modelowane, a które wymagają analizy jakościowej:

Kluczowe uproszczenia:

1. Homogeniczność agentów: Wszyscy agenci w wieku j są identyczni. Nie rozróżniamy:
2. Płci (co jest istotne dla bare branches i różnych wieków emerytalnych)
3. Wykształcenia (różne profile produktywności)

4. Lokalizacji (miasto vs wieś, hukou)

5. Jeden typ kapitału: K reprezentuje cały kapitał, bez rozróżnienia na:

6. Kapitał produkcyjny (maszyny, fabryki)

7. Nieruchomości (które stanowią 70% majątku chińskich gospodarstw domowych - sekcja 1.2.B)

8. Zamknięta gospodarka: Brak:

9. Handlu zagranicznego
10. Przepływów kapitału

11. Migracji międzynarodowej (brain drain)

12. Deterministyczny model: Brak niepewności. Agenci znają przyszłe ceny i dochody.

Zjawiska oznaczone jako "poza modelem" będą analizowane jakościowo w sekcji 4.8.

D) Związek z rozdziałem 1 - mapowanie parametrów

Każdy parametr modelu odpowiada konkretnemu zjawisku lub danej z rozdziału 1:

4.2. Specyfikacja matematyczna modelu

A) Gospodarstwa domowe

Struktura demograficzna

Populacja składa się z agentów żyjących J okresów (j = 1, 2, ..., J), gdzie: - j = 1 odpowiada wiekowi wejścia na rynek pracy (16 lat) - j = J odpowiada maksymalnemu wiekowi (80 lat) - j = jr to wiek emerytalny (okres, w którym agent przechodzi na emeryturę)

W naszej kalibracji: J = 65 (wiek 16-80), jr = 45 (wiek 60 przed reformą).

Niech N(j,t) oznacza liczbę agentów w wieku j w okresie t. Dynamika populacji wynika z: - Współczynników przeżycia ψ(j) - prawdopodobieństwo przeżycia z wieku j do j+1 - Współczynnika dzietności TFR(t)

Preferencje

Agent maksymalizuje oczekiwaną zdyskontowaną użyteczność z konsumpcji i czasu wolnego przez cały cykl życia:

max E₀ Σⱼ₌₁ᴶ βʲ⁻¹ · ψ̄(j) · [u(c(j)) - v(l(j))]

gdzie: - β ∈ (0,1) - czynnik dyskontowy (preferencja czasowa) - ψ̄(j) = Π_{k=1}^{j-1} ψ(k) - bezwarunkowe prawdopodobieństwo dożycia do wieku j - c(j) - konsumpcja w wieku j - l(j) - podaż pracy w wieku j (jako ułamek czasu) - u(c) - użyteczność z konsumpcji - v(l) - użyteczność ujemna (disutility) z pracy

Funkcja użyteczności CRRA (Constant Relative Risk Aversion):

u(c) = (c^(1-σ) - 1) / (1-σ)    dla σ ≠ 1
u(c) = ln(c)                     dla σ = 1

gdzie σ > 0 to współczynnik względnej awersji do ryzyka (= odwrotność międzyokresowej elastyczności substytucji).

Użyteczność marginalna:

u'(c) = c^(-σ)

Funkcja disutility z pracy:

v(l) = χ · l^(1+1/γ) / (1+1/γ)

gdzie: - χ > 0 - waga disutility pracy - γ > 0 - Frischowska elastyczność podaży pracy

Ograniczenie budżetowe

W każdym okresie życia agent podlega ograniczeniu budżetowemu:

Dla j < jr (okres pracy):

c(j) + a(j+1) = (1 + r) · a(j) + (1 - τ) · w · e(j) · l(j)

Dla j ≥ jr (emerytura):

c(j) + a(j+1) = (1 + r) · a(j) + b

gdzie: - a(j) - aktywa (oszczędności) na początku okresu j - r - stopa procentowa (stała w stanie stacjonarnym) - τ - składka emerytalna (jako ułamek płacy) - w - płaca za jednostkę efektywnej pracy - e(j) - produktywność pracy w wieku j (profil hump-shaped) - l(j) - podaż pracy (ułamek czasu) - b - świadczenie emerytalne (stałe)

Warunki brzegowe:

a(1) = 0     (brak początkowych aktywów - agent zaczyna bez majątku)
a(J+1) ≥ 0  (brak długu na koniec życia - warunek no-Ponzi)

W praktyce zakładamy a(J+1) = 0 (agent konsumuje cały majątek przed śmiercią, brak motywu spadkowego).

Profil produktywności

Produktywność pracy e(j) zmienia się z wiekiem zgodnie z profilem "hump-shaped" (garbatym): - Rośnie w młodości (akumulacja doświadczenia) - Osiąga maksimum ok. 45-50 lat - Spada pod koniec kariery

Przyjmujemy funkcyjną postać:

e(j) = exp(η₀ + η₁·(j-1) + η₂·(j-1)²) / normalizacja

gdzie parametry η₀, η₁, η₂ są kalibrowane tak, by profil odpowiadał danym empirycznym dla Chin.

Problem optymalizacyjny gospodarstwa domowego

Agent rozwiązuje:

max     Σⱼ₌₁ᴶ βʲ⁻¹ · ψ̄(j) · [u(c(j)) - v(l(j))]
{c(j), l(j), a(j+1)}

p.w.    c(j) + a(j+1) = (1 + r) · a(j) + y(j)
        a(1) = 0
        a(J+1) = 0
        c(j) ≥ 0, l(j) ∈ [0,1]

gdzie y(j) = (1-τ)·w·e(j)·l(j) dla j < jr, oraz y(j) = b dla j ≥ jr.

Warunki pierwszego rzędu (FOC)

Lagrangian:

L = Σⱼ₌₁ᴶ βʲ⁻¹ · ψ̄(j) · [u(c(j)) - v(l(j))]
    + Σⱼ₌₁ᴶ λ(j) · [(1+r)·a(j) + y(j) - c(j) - a(j+1)]

FOC względem c(j):

∂L/∂c(j) = 0

βʲ⁻¹ · ψ̄(j) · u'(c(j)) = λ(j)

FOC względem a(j+1):

∂L/∂a(j+1) = 0

-λ(j) + λ(j+1) · (1+r) = 0

λ(j) = (1+r) · λ(j+1)

FOC względem l(j) dla j < jr:

∂L/∂l(j) = 0

βʲ⁻¹ · ψ̄(j) · v'(l(j)) = λ(j) · (1-τ) · w · e(j)

Równanie Eulera

Łącząc FOC dla c(j) i a(j+1):

βʲ⁻¹ · ψ̄(j) · u'(c(j)) = (1+r) · βʲ · ψ̄(j+1) · u'(c(j+1))

Upraszczając (ψ̄(j+1) = ψ̄(j) · ψ(j)):

u'(c(j)) = β · (1+r) · ψ(j) · u'(c(j+1))

Dla funkcji CRRA:

c(j)^(-σ) = β · (1+r) · ψ(j) · c(j+1)^(-σ)

Równanie Eulera (postać explicite):

c(j+1)/c(j) = [β · (1+r) · ψ(j)]^(1/σ)

Interpretacja: konsumpcja rośnie w czasie, jeśli β·(1+r)·ψ(j) > 1, czyli gdy stopa procentowa jest wystarczająco wysoka względem niecierpliwości (1/β) i ryzyka śmierci (1/ψ).

Optymalna podaż pracy

Z FOC dla l(j):

v'(l(j)) = λ(j) / [βʲ⁻¹ · ψ̄(j)] · (1-τ) · w · e(j)

Podstawiając v'(l) = χ · l^(1/γ) i λ(j) = βʲ⁻¹ · ψ̄(j) · u'(c(j)):

χ · l(j)^(1/γ) = u'(c(j)) · (1-τ) · w · e(j)

χ · l(j)^(1/γ) = c(j)^(-σ) · (1-τ) · w · e(j)

Optymalna podaż pracy:

l(j) = [(1-τ) · w · e(j) / (χ · c(j)^σ)]^γ

Interpretacja: podaż pracy rośnie z płacą netto (w·e(j)·(1-τ)) i maleje z konsumpcją (efekt bogactwa). Parametr γ określa elastyczność tej reakcji.

B) Firmy

Funkcja produkcji

Reprezentatywna firma produkuje jednorodne dobro Y używając kapitału K i efektywnej pracy L zgodnie z funkcją Cobba-Douglasa:

Y = A · K^α · L^(1-α)

gdzie: - A > 0 - Total Factor Productivity (TFP) - K - zasób kapitału - L - agregat efektywnej pracy - α ∈ (0,1) - udział kapitału w dochodzie

Agregat efektywnej pracy

Efektywna praca to suma indywidualnych podaży pracy ważonych produktywnością:

L = Σⱼ₌₁^(jr-1) e(j) · l(j) · N(j)

Tylko agenci w wieku produkcyjnym (j < jr) dostarczają pracę.

Problem firmy

Firma maksymalizuje zysk:

max   A · K^α · L^(1-α) - (r + δ) · K - w · L
K, L

gdzie: - r - stopa procentowa (koszt kapitału) - δ - stopa deprecjacji kapitału - w - płaca za jednostkę efektywnej pracy

Warunki pierwszego rzędu

FOC względem K:

∂π/∂K = α · A · K^(α-1) · L^(1-α) - (r + δ) = 0

r + δ = α · A · (K/L)^(α-1)

Stopa procentowa:

r = α · A · (K/L)^(α-1) - δ

FOC względem L:

∂π/∂L = (1-α) · A · K^α · L^(-α) - w = 0

Płaca:

w = (1-α) · A · (K/L)^α

Relacje między cenami czynników

Dzieląc równania:

w / (r + δ) = [(1-α) / α] · (K/L)

Stosunek płacy do kosztu kapitału zależy od technicznego stosunku kapitał/praca i parametru α.

C) System emerytalny PAYG

Struktura systemu

Chiński system emerytalny jest systemem repartycyjnym (Pay-As-You-Go), w którym bieżące składki pracujących finansują bieżące świadczenia emerytów.

Wpływy systemu:

Revenues = τ · w · L = τ · w · Σⱼ₌₁^(jr-1) e(j) · l(j) · N(j)

Wydatki systemu:

Expenditures = b · Σⱼ₌ⱼᵣᴶ N(j)

gdzie b to świadczenie emerytalne (zakładamy jednolite dla wszystkich emerytów).

Warunek bilansu

System jest zbilansowany, gdy:

τ · w · L = b · R

gdzie R = Σⱼ₌ⱼᵣᴶ N(j) to liczba emerytów.

Stąd świadczenie emerytalne wynosi:

b = τ · w · L / R

Stopa zastąpienia

Stopa zastąpienia (replacement rate) to stosunek świadczenia emerytalnego do średniej płacy:

replacement_rate = b / (w · ē)

gdzie ē to średnia produktywność pracujących.

Podstawiając b:

replacement_rate = τ · L / (R · ē) = τ · (L/R) / ē

Interpretacja: stopa zastąpienia zależy od: - Składki τ (wprost proporcjonalnie) - Stosunku pracujących do emerytów L/R (wprost proporcjonalnie) - Średniej produktywności ē (odwrotnie proporcjonalnie)

Gdy społeczeństwo się starzeje (L/R spada), przy stałym τ spada stopa zastąpienia.

Współczynnik wsparcia (support ratio)

support_ratio = L / R = [Σⱼ₌₁^(jr-1) e(j)·l(j)·N(j)] / [Σⱼ₌ⱼᵣᴶ N(j)]

Dla Chin (dane z rozdziału 1, sekcja 1.1.C): - 2024: support ratio ≈ 4.8 (jeden emeryt na 4.8 pracujących) - 2050 proj.: support ratio ≈ 1.9 (jeden emeryt na 1.9 pracujących)

D) Definicja równowagi

Stan stacjonarny

Stan stacjonarny (steady state) to sytuacja, w której: - Wszystkie zmienne per capita są stałe w czasie - Struktura demograficzna jest stała (stacjonarna populacja) - Ceny (r, w) są stałe

Definicja równowagi stanu stacjonarnego:

Równowaga składa się z: - Alokacji {c(j), l(j), a(j)}ⱼ₌₁ᴶ dla gospodarstw domowych - Agregatów (K, L, Y, C, I) - Cen (r, w) - Świadczenia emerytalnego b

takich że:

1. Optymalizacja gospodarstw domowych: Dla danych (r, w, b), alokacja {c(j), l(j), a(j)} rozwiązuje problem gospodarstwa domowego (sekcja A).

2. Optymalizacja firm: Dla danych (r, w), firma wybiera K i L maksymalizując zysk. Z FOC:

r = α · A · (K/L)^(α-1) - δ
w = (1-α) · A · (K/L)^α

3. Bilans systemu emerytalnego:

τ · w · L = b · R

4. Oczyszczanie rynku kapitału: Agregat oszczędności równa się kapitałowi:

K = Σⱼ₌₁ᴶ a(j) · N(j)

5. Oczyszczanie rynku pracy:

L = Σⱼ₌₁^(jr-1) e(j) · l(j) · N(j)

6. Oczyszczanie rynku dóbr: Produkt równa się sumie konsumpcji, inwestycji i wydatków rządowych:

Y = C + I + G

gdzie:

C = Σⱼ₌₁ᴶ c(j) · N(j)    (agregat konsumpcji)
I = δ · K                  (inwestycje = deprecjacja w stanie stacjonarnym)
G = g · Y                  (wydatki rządowe jako ułamek PKB)

Równowaga przejściowa (transition)

W dynamice przejściowej (np. gdy zmienia się struktura demograficzna) zmienne zmieniają się w czasie. Równowaga w okresie t:

Dynamika kapitału:

K(t+1) = (1-δ) · K(t) + I(t)

Dynamika aktywów indywidualnych:

a(j+1, t+1) = (1 + r(t)) · a(j, t) + y(j, t) - c(j, t)

Dynamika populacji:

N(j+1, t+1) = ψ(j) · N(j, t)
N(1, t) = TFR(t) · [suma kobiet w wieku rozrodczym]

Algorytm rozwiązania (implementacja numeryczna)

Dla stanu stacjonarnego:

1. Zgadnij K
2. Oblicz L iteracyjnie:
3. Oblicz (r, w) z FOC firm
4. Oblicz b z bilansu PAYG
5. Rozwiąż problem gospodarstwa (backward induction dla c, forward dla a, l)
6. Agreguj nowe L
7. Powtarzaj aż do zbieżności L
8. Oblicz nowe K z agregacji aktywów
9. Jeśli |K_nowe - K_stare| > tolerancja, wróć do 1
10. Oblicz wszystkie agregaty (Y, C, I) i wskaźniki

Backward induction dla konsumpcji:

Zaczynając od ostatniego okresu:

c(J) = (1+r) · a(J) + b    (konsumuj wszystko)

Cofając się:

c(j) = [β · (1+r) · ψ(j)]^(-1/σ) · c(j+1)    (z równania Eulera)

Forward iteration dla aktywów:

a(1) = 0
a(j+1) = (1+r) · a(j) + y(j) - c(j)

4.3. Rozszerzenia modelu dla specyfiki chińskiej

Model bazowy (sekcja 4.2) jest standardowym modelem OLG. Dla pełnej analizy specyfiki chińskiej wprowadzamy trzy rozszerzenia:

• Rozszerzenie A: Struktura kapitału (własność i przeznaczenie)
• Rozszerzenie B: Gospodarka otwarta (sektor eksportowy)

Uwaga: Szczegółowa analiza struktury kapitału w Chinach wraz ze źródłami danych znajduje się w załączniku zalacznik-struktura-kapitalu.md.

Rozszerzenie A: Struktura kapitału w gospodarce chińskiej

Motywacja: Fundamentalna różnica Chiny vs Zachód

Struktura kapitału w Chinach fundamentalnie różni się od gospodarek zachodnich:

Źródło: Piketty, Yang, Zucman (2019); PIIE; PBOC

Kluczowy wniosek: Państwo chińskie kontroluje bezpośrednio ~60% kapitału produkcyjnego i 100% ziemi. To umożliwia prowadzenie polityki gospodarczej przez DECYZJE o alokacji kapitału, nie tylko przez tworzenie warunków rynkowych.

Hierarchiczna struktura kapitału

W standardowym modelu OLG cały kapitał K jest jednorodny i produktywny. W Chinach wprowadzamy hierarchiczną strukturę:

KAPITAŁ CAŁKOWITY (K_total)
│
├── KAPITAŁ MIESZKANIOWY (K_housing) ──────────── [~60% majątku]
│   └── Nie uczestniczy bezpośrednio w produkcji
│   └── Store of value, 婚房 (mieszkanie ślubne)
│
└── KAPITAŁ PRODUKCYJNY (K_prod) ──────────────── [~40% majątku]
    │
    ├── K_SOE (kapitał państwowy) ─────────────── θ_SOE = 0.60
    │   └── Produktywność: A_SOE = 0.80
    │
    └── K_prywatne (prywatny + FDI) ───────────── (1-θ_SOE) = 0.40
        └── Produktywność: A_prywatne = 1.00

Równania struktury kapitału

Dekompozycja majątku:

K_total = K_housing + K_prod
K_prod = K_SOE + K_prywatne

Udział nieruchomości w majątku:

φ_housing = K_housing / K_total ≈ 0.60-0.70

Udział SOE w kapitale produkcyjnym:

θ_SOE = K_SOE / K_prod ≈ 0.60

Efektywna produktywność

Sektor państwowy (SOE) jest zazwyczaj mniej efektywny niż prywatny. Wprowadzamy efektywną produktywność jako średnią ważoną:

A_eff = θ_SOE · A_SOE + (1 - θ_SOE) · A_prywatne

Kalibracja: - A_prywatne = 1.00 (normalizacja) - A_SOE = 0.80 (literatura: Hsieh & Song 2015, IMF 2019) - θ_SOE = 0.60 (dane PIIE) - A_eff = 0.60 × 0.80 + 0.40 × 1.00 = 0.88

Zmodyfikowana funkcja produkcji:

Y = A_eff · K_prod^α · L^(1-α)

gdzie tylko kapitał produkcyjny (K_prod) wchodzi do funkcji produkcji.

Decyzja gospodarstwa domowego - alokacja oszczędności

Gospodarstwo domowe w każdym okresie decyduje o alokacji oszczędności między dwa typy aktywów:

Ograniczenie budżetowe (rozszerzone):

c(j) + a_prod(j+1) + p_h·h(j+1) = (1+r_prod)·a_prod(j) + (1+r_h)·p_h·h(j) + y(j)

gdzie: - a_prod(j) = aktywa w kapitale produkcyjnym (przez banki, akcje → trafia do SOE lub firm prywatnych) - h(j) = aktywa w nieruchomościach (jednostki mieszkań) - p_h = cena jednostki nieruchomości - r_prod = stopa zwrotu z kapitału produkcyjnego - r_h = stopa zwrotu z nieruchomości

Stopy zwrotu dwóch typów aktywów

Kapitał produkcyjny - stopa zwrotu wynika z produktywności krańcowej:

r_prod = α · A_eff · (K_prod/L)^(α-1) - δ_prod

Nieruchomości - stopa zwrotu jest spekulacyjna:

r_h = g_h - δ_h

gdzie: - g_h = oczekiwana stopa aprecjacji cen nieruchomości - δ_h = deprecjacja (zużycie budynków, ~2% rocznie)

Mechanizm misalokacji kapitału

Warunek arbitrażu (równowaga):

W równowadze, przy braku ograniczeń, gospodarstwa wyrównują stopy zwrotu:

r_prod ≈ r_h

W Chinach warunek jest naruszony z powodu: 1. Oczekiwań aprecjacji nieruchomości (bańka): r_h > r_prod 2. Kontroli kapitału (trudno inwestować za granicą) 3. Kulturowego znaczenia nieruchomości (婚房 - mieszkanie ślubne) 4. Braku alternatywnych instrumentów inwestycyjnych

Rezultat: misalokacja kapitału - zbyt dużo w nieruchomościach (φ_housing = 70%), za mało w produkcji.

Mechanizm bańki i krachu nieruchomości

Faza bańki (g_h wysoka):

r_h = g_h - δ_h > r_prod

→ Gospodarstwa przesuwają oszczędności: a_prod ↓, h ↑
→ K_prod rośnie wolniej
→ Y rośnie wolniej (mniej kapitału produkcyjnego)
→ Ale ceny nieruchomości rosną (bańka się napędza)

Krach (g_h spada do 0 lub ujemne):

r_h = g_h - δ_h << r_prod  (gdy g_h < 0)

→ Spadek wartości h (efekt majątkowy)
→ Majątek gospodarstw spada: W = a_prod + p_h·h ↓↓
→ Konsumpcja spada (efekt bogactwa): C ↓
→ Recesja

Rola państwa w alokacji kapitału produkcyjnego

W Chinach państwo kontroluje ~60% kapitału produkcyjnego. To oznacza:

Model dla gospodarki rynkowej (USA/UE):

Oszczędności → Rynki finansowe → Alokacja przez mechanizm cenowy (r, zwrot)
Rząd tworzy WARUNKI (prawo, podatki, regulacje)

Model dla Chin:

Oszczędności → Banki państwowe → Alokacja przez DECYZJĘ POLITYCZNĄ
Rząd DECYDUJE o kierunku inwestycji:
- Które sektory (AI, chipy, infrastruktura)
- Które regiony
- Które firmy (SOEs priorytetowo)

Równania równowagi (struktura kapitału)

Agregat kapitału produkcyjnego:

K_prod = Σⱼ₌₁ᴶ a_prod(j) · N(j)

Agregat kapitału mieszkaniowego:

K_housing = p_h · Σⱼ₌₁ᴶ h(j) · N(j)

Majątek całkowity:

K_total = K_prod + K_housing

Udział nieruchomości:

φ_housing = K_housing / K_total

Target kalibracji: φ_housing ≈ 0.60-0.70 (60-70%)

Podział kapitału produkcyjnego:

K_SOE = θ_SOE · K_prod
K_prywatne = (1 - θ_SOE) · K_prod

Parametry rozszerzenia A

Scenariusze struktury kapitału

*Parametry θ_SOE i A_SOE wymagają weryfikacji źródeł - patrz załącznik zalacznik-struktura-kapitalu.md, sekcja 5.

Rozszerzenie B: Gospodarka otwarta (sektor eksportowy)

Motywacja

Standardowy model OLG zakłada gospodarką zamkniętą (Y = C + I + G). Dla Chin kluczowe jest uwzględnienie:

• Eksport jako źródło popytu: NX/Y ≈ 3-5%, ale sektor eksportowy zatrudnia znacznie więcej
• Ryzyko decoupling: Napięcia handlowe USA-Chiny mogą odciąć dostęp do rynków
• Rebalancing: Przejście od eksportu do konsumpcji wewnętrznej

Struktura dwusektorowa

Dzielimy produkcję na dwa sektory:

Y_total = Y_dom + Y_exp

gdzie: - Y_dom = produkcja na rynek krajowy (konsumpcja, inwestycje, rząd) - Y_exp = produkcja na eksport

Oba sektory używają tego samego kapitału produkcyjnego i pracy, ale z różną efektywnością:

Y_dom = A_dom · K_dom^α · L_dom^(1-α)
Y_exp = A_exp · K_exp^α · L_exp^(1-α)

gdzie:

K_prod = K_dom + K_exp
L = L_dom + L_exp

Założenie upraszczające: A_exp ≥ A_dom (sektor eksportowy jest bardziej produktywny - efekt selekcji i konkurencji międzynarodowej)

Popyt zagraniczny (egzogenny)

Popyt na chiński eksport traktujemy jako egzogenny:

D_foreign(t) = D̄ · (1 + g_world)^t · ξ(t)

gdzie: - D̄ = bazowy poziom popytu zagranicznego - g_world = stopa wzrostu gospodarki światowej - ξ(t) = szok (czynnik decoupling)

Scenariusz decoupling:

ξ(t) = 1.0           dla t < T_decoupling    (normalny handel)
ξ(t) = 1 - shock     dla t ≥ T_decoupling    (np. shock = 0.5 → 50% spadek)

Równowaga na rynku eksportowym

Y_exp = min(podaż eksportu, popyt zagraniczny)
Y_exp = min(A_exp · K_exp^α · L_exp^(1-α), D_foreign)

Jeśli D_foreign spada (decoupling): - Y_exp spada - Zasoby (K_exp, L_exp) muszą przenieść się do sektora krajowego - Ale sektor krajowy może nie być w stanie wchłonąć (słaby popyt wewnętrzny) - Rezultat: bezrobocie, spadek PKB

Mechanizm rebalancingu

Przed decoupling:

Y = Y_dom + Y_exp
C/Y ≈ 40%, NX/Y ≈ 5%
Eksport napędza wzrost

Po decoupling (scenariusz):

Y_exp ↓↓ (D_foreign spada)
Żeby Y nie spadło: Y_dom musi wzrosnąć
Żeby Y_dom wzrosło: C musi wzrosnąć
Żeby C wzrosło: w↑ lub S↓ lub niepewność↓

Dylemat polityczny: - Wyższe płace (w↑) → mniejsza konkurencyjność eksportu → jeszcze mniejszy Y_exp - Niższe oszczędności (S↓) → mniejszy K_prod → niższy Y w przyszłości - Niższa niepewność → wymaga reform (emerytury, ochrona zdrowia, hukou)

Równania równowagi (rozszerzenie o handel)

Rynek dóbr krajowych:

Y_dom = C + I_prod + I_housing + G

Bilans handlowy:

NX = Y_exp - M

gdzie M = import (dla uproszczenia zakładamy M proporcjonalne do Y_dom)

Równowaga pracy:

L = L_dom + L_exp
L_dom = f(w, Y_dom)    (popyt na pracę w sektorze krajowym)
L_exp = g(w, Y_exp)    (popyt na pracę w sektorze eksportowym)

Połączenie rozszerzeń A+B: Pełny model

Struktura pełnego modelu

MAJĄTEK GOSPODARSTW DOMOWYCH:
W(j) = a_prod(j) + p_h·h(j)

HIERARCHIA KAPITAŁU:
K_total = K_housing + K_prod
K_prod = K_SOE + K_prywatne       (θ_SOE = 0.60)
K_prod = K_dom + K_exp            (podział sektorowy)

PRODUKCJA Z EFEKTYWNĄ PRODUKTYWNOŚCIĄ:
A_eff = θ_SOE · A_SOE + (1 - θ_SOE) · A_prywatne = 0.88

Y_dom = A_eff · K_dom^α · L_dom^(1-α)
Y_exp = A_exp · K_exp^α · L_exp^(1-α)
Y_total = Y_dom + Y_exp

POPYT:
Y_dom = C + I_prod + I_housing + G
Y_exp = NX = D_foreign (ograniczony popytem zagranicznym)

Uwaga: Szczegółowa analiza struktury kapitału w załączniku zalacznik-struktura-kapitalu.md

Scenariusze do symulacji

Uwaga o niepewności TFP: Wzrost produktywności jest trudny do prognozowania. Ostatnie dane z USA (2023-24) pokazują wzrosty rzędu 4-5% kwartalnie, co część ekonomistów wiąże z AI. Model nie zakłada konkretnej ścieżki TFP - symulujemy szeroki zakres (0.5% - 5%) i pokazujemy konsekwencje każdego scenariusza.

Uwaga o strukturze własności: Udział SOE w kapitale (θ_SOE = 60%) jest fundamentalną różnicą między Chinami a gospodarkami zachodnimi (~0%). Scenariusze "Prywatyzacja" i "Sukces SOE" reprezentują alternatywne ścieżki polityki strukturalnej. Szczegółowa analiza w załączniku zalacznik-struktura-kapitalu.md.

Nowe parametry - kalibracja rozszerzeń

Rozszerzenie A: Struktura kapitału

Rozszerzenie B: Sektor eksportowy

Dane do walidacji rozszerzeń

Interpretacja rozszerzeń w kontekście rozdziału 1

Powiązanie z sekcjami rozdziału 1

Kluczowe wnioski z rozszerzenia

1. Misalokacja kapitału: 70% majątku w nieruchomościach oznacza, że znaczna część oszczędności "nie pracuje" produktywnie. To tłumaczy paradoks wysokich oszczędności przy umiarkowanym wzroście.

2. Efekt bańki: Gdy g_h > r_prod, racjonalne jest inwestować w nieruchomości zamiast w produkcję. To napędza bańkę i pogłębia misalokację.

3. Krach = podwójny cios: Spadek cen nieruchomości (g_h < 0) oznacza:

4. Bezpośredni spadek majątku gospodarstw
5. Spadek konsumpcji (efekt bogactwa)

6. Problemy sektora bankowego (zabezpieczenia tracą wartość)

7. Decoupling = konieczność rebalancingu: Jeśli Y_exp spada, Chiny MUSZĄ zwiększyć C. Ale to wymaga:

8. Wyższych płac (koszt dla firm)
9. Silniejszej siatki bezpieczeństwa (koszt dla budżetu)

10. Zmiany kulturowej (mniej oszczędzania)

11. Pętla sprzężenia zwrotnego: Decoupling + Krach = scenariusz najgorszy:

12. Y_exp↓ + C↓(efekt bogactwa) = głęboka recesja
13. Bez możliwości "ucieczki w eksport"

4.4. Kalibracja parametrów

Tabela parametrów

Uzasadnienie wartości parametrów

β = 0.96 (czynnik dyskontowy)

Czynnik dyskontowy β = 0.96 oznacza, że agent ceni konsumpcję za rok o 4% mniej niż konsumpcję dziś. Jest to standardowa wartość w modelach makroekonomicznych, wynikająca z:

• Estymacji na danych mikroekonomicznych
• Kalibracji do obserwowanych stóp procentowych (r ≈ 4-5%)
• Równowagi: w stanie stacjonarnym β·(1+r) ≈ 1

σ = 2.0 (awersja do ryzyka)

Współczynnik σ = 2.0 oznacza: - Względną awersję do ryzyka = 2 - Międzyokresową elastyczność substytucji (IES) = 1/σ = 0.5

Wartość ta jest w środku zakresu estymacji empirycznych (1-5) i jest standardem w literaturze OLG.

Implikacja dla równania Eulera:

c(j+1)/c(j) = [β·(1+r)·ψ(j)]^0.5

Przy r = 4% i ψ ≈ 0.99: wzrost konsumpcji ≈ 1% rocznie.

α = 0.40 (udział kapitału)

Standardowo α ≈ 0.33 (reguła "jedna trzecia"). Dla Chin przyjmujemy wyższą wartość α = 0.40 z powodów:

1. Wysoki udział inwestycji w PKB: 42% (vs 24% średnia światowa) - sekcja 1.2.C [^97]
2. Struktura gospodarki: duży udział przemysłu ciężkiego i infrastruktury
3. Estymacje empiryczne: Bai, Hsieh, Qian (2006) szacują α = 0.35-0.45 dla Chin

jr = 45 (wiek emerytalny)

jr = 45 odpowiada wiekowi 60 lat (16 + 44 = 60), co jest obecnym wiekiem emerytalnym dla mężczyzn w Chinach.

Reforma 2025 (sekcja 1.2.D, [^89]) wprowadza stopniowe podnoszenie: - Mężczyźni: 60 → 63 (do 2040) - Kobiety (umysłowe): 55 → 58 - Kobiety (fizyczne): 50 → 55

W scenariuszach będziemy badać jr = 47, 48, 50 (wiek 62, 63, 65).

τ = 0.20 (składka emerytalna)

Chiński system emerytalny jest złożony (różne stawki dla różnych sektorów). Przyjmujemy τ = 20% jako przybliżenie łącznej składki (pracownik + pracodawca) kierowanej na świadczenia bieżące (część PAYG).

W rzeczywistości: - Składka podstawowa: ~28% (20% pracodawca + 8% pracownik) - Część trafia na konta indywidualne (nie PAYG) - Duże zróżnicowanie regionalne

Walidacja kalibracji

Model powinien odtwarzać kluczowe momenty danych dla roku bazowego (2020):

Jeśli model nie odtwarza tych wartości, należy skorygować parametry (szczególnie β, α).

4.5. Dane wejściowe

A) Dane demograficzne

Źródło: UN World Population Prospects 2024

Podstawowym źródłem danych demograficznych są projekcje ONZ (UN WPP 2024), które dostarczają:

• Strukturę wiekową populacji N(age, year) dla każdego roku 2000-2100
• Współczynniki dzietności TFR(year)
• Tablice trwania życia (life tables) → współczynniki przeżycia ψ(age)
• Oczekiwaną długość życia e₀(year)

Struktura wiekowa dla modelu

Dane UN są w grupach 5-letnich lub pojedynczych rocznikach. Agregujemy do okresów modelu (J=65, wiek 16-80):

N(j, t) = populacja w wieku (15+j) w roku t, w milionach

Kluczowe wskaźniki demograficzne (z rozdziału 1)

Współczynniki przeżycia

Współczynniki przeżycia ψ(j) wynikają z tablic trwania życia. Przybliżenie:

Profil produktywności e(j)

Produktywność pracy zmienia się z wiekiem. Na podstawie danych o płacach wg wieku dla Chin:

e(j) ∝ exp(4.47 + 0.033·(j-1) - 0.0006·(j-1)²)

Normalizujemy tak, by średnia dla pracujących = 1.

B) Dane makroekonomiczne

Źródła: NBS China, World Bank, Penn World Table

C) Dane o systemie emerytalnym

Źródła: OECD, MoHRSS China, Library of Congress

D) Podsumowanie danych wejściowych

Model wymaga następujących danych dla każdego roku symulacji t:

Podsumowanie sekcji 4.1-4.5

Zdefiniowaliśmy rozszerzony model OLG dla Chin z następującymi cechami:

Model bazowy

1. J = 65 okresów życia (wiek 16-80)
2. Gospodarstwa domowe maksymalizują użyteczność CRRA z endogeniczną podażą pracy
3. Firmy produkują z funkcją Cobba-Douglasa (α = 0.40)
4. System emerytalny PAYG z bilansem składki-świadczenia
5. Równowaga na rynkach kapitału, pracy i dóbr

Rozszerzenie A: Struktura kapitału (zintegrowane)

Rozszerzenie łączy dwa wymiary specyfiki chińskiej:

Podział majątku (przeznaczenie): 6. K_total = K_housing + K_prod - kapitał mieszkaniowy vs produkcyjny 7. φ_housing = 60-70% - udział nieruchomości w majątku (dane PBOC) 8. Tylko K_prod wchodzi do funkcji produkcji 9. Mechanizm bańki/krachu - różnica stóp zwrotu r_prod vs r_h

Podział kapitału produkcyjnego (własność): 10. K_prod = K_SOE + K_prywatne - kapitał państwowy vs prywatny 11. θ_SOE = 60% - udział SOE w kapitale produkcyjnym (vs ~0% w USA/UE) 12. A_eff = θ_SOE·A_SOE + (1-θ_SOE)·A_prywatne - efektywna produktywność 13. Model pokazuje konsekwencje DECYZJI politycznych, nie mechanizm rynkowy

Szczegółowa analiza struktury kapitału: załącznik zalacznik-struktura-kapitalu.md

Rozszerzenie B: Gospodarka otwarta

1. Y = Y_dom + Y_exp - dwa sektory produkcji
2. Popyt zagraniczny D_foreign - egzogenny, z możliwością szoku (decoupling)
3. Mechanizm rebalancingu - przesunięcie z eksportu do konsumpcji wewnętrznej

Parametry kluczowe

Model bazowy: - β = 0.96, σ = 2.0, γ = 2.0 (preferencje) - α = 0.40, δ_prod = 0.08 (produkcja) - g_A = 0.5% - 5% (wzrost TFP - szeroki zakres scenariuszy) - jr = 45 (wiek 60), τ = 0.20 (system emerytalny)

Rozszerzenie A - struktura kapitału: - φ_housing = 0.67-0.70 (udział nieruchomości w majątku) [^PBOC 2020: ~70%, NY Fed 2023: ~67%] - δ_h = 0.02 (deprecjacja nieruchomości) - g_h = scenariusze: stagnacja (0%), krach (-5%) - θ_SOE = wymaga weryfikacji (dane PIIE o kapitalizacji giełdowej, nie kapitale produkcyjnym) - A_SOE = 0.80 (produktywność SOE - literatura akademicka, wymaga weryfikacji) - Trend: "state advances" - wzrost udziału SOE w kapitalizacji top 100: 33%→54% (2021→2024) [^PIIE]

Rozszerzenie B - gospodarka otwarta: - η_exp = 0.20 (udział eksportu w PKB) - A_exp = 1.2 (TFP sektora eksportowego) - shock = 0.30-0.50 (scenariusz decoupling)

Powiązanie z rozdziałem 1

Scenariusze do symulacji

*Scenariusze SOE wymagają weryfikacji parametrów θ_SOE i A_SOE - patrz załącznik.

Kluczowa zmiana koncepcyjna

MODEL DLA GOSPODARKI RYNKOWEJ (USA/UE):
"Co się stanie, gdy zmienią się warunki rynkowe?"
→ Model OPISUJE równowagę rynkową

MODEL DLA CHIN:
"Co się stanie, gdy rząd podejmie decyzję X?"
→ Model POKAZUJE KONSEKWENCJE wyborów politycznych

W kolejnych sekcjach (4.6-4.9) przeprowadzimy: - 4.6 Walidację historyczną (2000-2023) - 4.7 Projekcje bazowe (2024-2050) - 4.8 Symulacje scenariuszy - 4.9 Analizę zjawisk poza modelem (hukou, bare branches, heterogeniczność)